Dimension Reduction of High-Dimensional Distributionally Robust Optimization

We study uncertainty sets consisting of high-dimensional random vectors that are close in the multivariate Wasserstein distance to a reference random vector. We give conditions under which the images of these sets under scalar-valued aggregation functions are equal to or contained in uncertainty sets of univariate random variables defined via a univariate Wasserstein distance. This allows one to rewrite or upper bound high dimensional distributionally robust optimization problems with simpler distributionally robust optimization problems over the space of univariate random variables. We generalize the results to uncertainty sets defined via the Bregman-Wasserstein divergence and the max-sliced Wasserstein distance. The latter allows one to jointly model distributional uncertainty around the reference random vector and uncertainty in the aggregation function. Finally, we derive explicit bounds for worst-case risk measures that belong to the class of signed Choquet integrals.

Réduction de la dimension de l'optimisation distributionnellement robuste en haute dimension

Nous étudions des ensembles d'incertitude constitués de vecteurs aléatoires de haute dimension qui sont proches d'un vecteur aléatoire de référence dans la distance multivariée de Wasserstein. Nous donnons des conditions sous lesquelles les images de ces ensembles sous des fonctions d'agrégation à valeurs scalaires sont égales à ou contenues dans des ensembles d'incertitude de variables aléatoires univariées définies par une distance univariée de Wasserstein. Cela permet de réécrire ou de limiter les problèmes d'optimisation distributionnellement robustes en haute dimension par des problèmes d'optimisation distributionnellement robustes plus simples sur l'espace des variables aléatoires univariées. Nous généralisons les résultats aux ensembles d'incertitude définis par la divergence de Bregman-Wasserstein et la distance de Wasserstein à tranche maximale. Cette dernière permet de modéliser conjointement l'incertitude distributionnelle autour du vecteur aléatoire de référence et l'incertitude dans la fonction d'agrégation. Enfin, nous dérivons des limites explicites pour les mesures de risque les plus défavorables qui appartiennent à la classe des intégrales de Choquet signées.

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Progrès de la modélisation du risque en finance et assurance

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