Nous étudions la limite d'échelle d'un modèle de polymère dirigé dans un environnement aléatoire spatialement corrélé. Le modèle de polymère dirigé consiste en une simple marche aléatoire symétrique avec un environnement décrit par une somme de variables aléatoires i.i.d., pondérées par des fonctions qui présentent une décroissance en loi de puissance. Sous une mise à l'échelle appropriée, nous établissons la faible convergence de la fonction de partition remise à l'échelle vers la solution d'une équation de chaleur stochastique (ECS) pilotée par un bruit gaussien qui est blanc dans le temps et corrélé dans l'espace. L'objectif de cet article est de montrer que le logarithme de la fonction de partition converge vers la solution de Cole-Hopf de l'équation de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) au niveau du processus. Notre approche repose sur l'établissement d'estimations de moment et de l'étroitesse de la fonction de partition.