Asymptotic Tail Properties of Poisson Mixture Distributions
Poisson distribution is commonly used to model count data. But, overdispersion, mainly due to excess of zeros or extreme values, undermines model performances. Poisson mixtures provide an alternative approach to overcome this limitation. However, the mixing distribution must be appropriately selected based on the observations. In particular, it would be of interest that the extreme behavior of the Poisson mixture match with that of the data. In this work, we demonstrate that the tail behavior of the Poisson mixture can be primarily derived from that of the mixing distribution. Specifically, we define five families of mixing distributions and describe, for each of them, the domain of attraction of the associated Poisson mixture. We also characterize the asymptotic behavior of the probability mass function based on the mixing distribution. Finally, we analytically and numerically investigate how the quality of the Poisson mixture fit can be assessed by examining its extreme behavior.
Comportement extrême des mélanges Poisson
La distribution de Poisson est couramment utilisée pour modéliser des données de comptage. Cependant, la surdispersion, principalement due à un excès de zéros ou de valeurs extrêmes, compromet les performances de ce modèle. Les mélanges de Poisson offrent une modélisation alternative permettant de surmonter cette limitation. Toutefois, la distribution de mélange doit être adéquatement sélectionnée en fonction des observations. En particulier, il serait d’intérêt que le comportement extrême du mélange de Poisson corresponde à celui des données. Dans ce travail, nous démontrons que le comportement asymptotique du mélange de Poisson peut être principalement déduit à partir de celui de la distribution de mélange. En particulier, nous définissons cinq familles de lois de mélange et décrivons, pour chacune d’elles, le domaine d’attraction du mélange de Poisson associé. Nous caractérisons également le comportement asymptotique de la fonction de masse selon la loi de mélange utilisée. Enfin, nous étudions, de manière analytique et numérique, comment la qualité de l’ajustement du mélange de Poisson peut être évaluée en examinant son comportement extrême.
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Anglais
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