Adaptive Signal Recovery in Sparse Nonparametric Models

We observe an unknown regression function of d variables f(t), t ∈ [0,1]^d, in the Gaussian white noise model of intensity ε>0. We assume that the function f is regular and that it is a sum of k-variate functions, where k varies from 1 to s (1≤ s ≤ d). These functions are unknown to us and only a few of them are nonzero. In this talk, we address the problem of identifying the nonzero components of f in the case when d=d_ε → ∞ as ε → 0 and s is either fixed or s =s_ε→ ∞, s =o(d) as ε → 0. This may be viewed as a variable selection problem. We derive the conditions when exact variable selection in the model at hand is possible and provide a selection procedure that achieves this type of selection. The procedure is adaptive to the level of sparsity of the function f. We also derive conditions that make exact variable selection in this model impossible. In view of these conditions, the proposed selector is seen to perform asymptotically optimal.

Récupération adaptative du signal dans les modèles non paramétriques parcimonieux

On observe une fonction de régression inconnue de d variables, f(t), t ∈ [0,1]^d, dans le modèle de bruit blanc gaussien d’intensité ε>0. On suppose que la fonction f est régulière et qu’elle est une somme de fonctions k-variées, où k varie de 1 à s (1≤ s ≤ d). Ces fonctions nous sont inconnues et seules quelques-unes d’entre elles sont non nulles. Dans cet exposé, nous abordons le problème de la recherche des composantes non nulles de f dans le cas où d=d_ε → ∞ quand ε → 0 et s est soit fixe, soit s =s_ε→ ∞, s =o(d) quand ε → 0. Ce problème se ramène à un problème de sélection de variables. Nous dérivons les conditions sous lesquelles la sélection exacte de variables dans le modèle en question est possible et fournissons une procédure qui réalise ce type de sélection. La procédure est adaptative au niveau de parcimonie de la fonction f. Nous dérivons également des conditions qui rendent impossible la sélection exacte de variables dans le modèle. Compte tenu de ces conditions, le sélecteur proposé semble fonctionner de manière asymptotiquement optimale.

Session

Conditional Markov Chains, adaptive signal recovery, and logarithmic asymptotic behaviour for partial sums of random variables

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